Crónicas Matemáticas: Una Breve Historia De La Ciencia Más Antigua Y Sus Personajes — Antonio J. Durán / Mathematical Chronicles: A Brief History of the Oldest Science and Its Characters by Antonio J. Durán (spanish book edition)

Libro muy didáctico donde podemos afirmar que las matemáticas, o al menos lo que se ha venido entendiendo por matemáticas en el mundo occidental desde los últimos dos milenios y medio, pueden definirse como la búsqueda y el descubrimiento de secretos ocultos en sistemas de objetos que responden a un cierto patrón más o menos conocido, secretos que una vez descubiertos hay que demostrar usando un depurado razonamiento lógico. Los sistemas de objetos donde se ocultan secretos de interés matemático pueden ser de lo más variado. Los hay de tipo geométrico, como triángulos o círculos, o de tipo numérico.
Si hay un concepto matemático donde se den cita con especial intensidad estos aspectos emocionales, ese es el de infinito. El infinito es como un nido de víboras, y a la inteligencia humana le ha costado milenios meter ahí la mano; para domarlo se han necesitado buenas dosis de pasión, locura, valentía, ciencia y arte.

El teorema de Pitágoras es uno de los pocos resultados matemáticos que forman parte de lo que se ha dado en llamar el «imaginario colectivo», esa supuesta colección de enseñanzas, conocimientos y datos que todos, o casi todos, albergamos de forma común en nuestra memoria. El teorema establece que en todo triángulo rectángulo —esto es, uno de sus ángulos es recto— el lado mayor al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Como ya escribí antes, a pesar de llamarse teorema de Pitágoras, esa relación entre los lados de un triángulo rectángulo era ya conocida por matemáticos babilonios más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras. En efecto, tenemos constancia escrita de que en Mesopotamia, décadas antes de que el rey Hammurabi reinara en Babilonia, había matemáticos que sabían que si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4, entonces su hipotenusa mide 5…

Ramanujan era un diamante en bruto: tenía una intuición monstruosamente afinada para números y fórmulas, aunque desconocía conceptos y herramientas básicas que cualquier aspirante aplicado a matemático debe dominar en los primeros años de la carrera. Pero el milagro se produjo, lo imposible sucedió, porque Ramanujan, que se había formado matemáticamente a sí mismo en el porche de su casa en el sur profundo de la India, fue capaz de colaborar fructíferamente y en pie de igualdad con Hardy, uno de los más logrados frutos del prestigioso sistema educativo inglés.
La relación matemática entre Hardy y Ramanujan fue extraordinaria, no tanto la humana, que fue algo fría; «Ramanujan era indio —escribió Hardy décadas después—, y supongo que siempre es un poco complicado para un inglés y un indio entenderse propiamente». Hardy siempre la consideró un episodio fundamental en su vida: «Mi asociación con Ramanujan —confesó Hardy en cierta ocasión— ha sido el único incidente romántico de mi vida.
Ramanujan fue matemático, a pesar de lo cual es imposible describir o entender su trabajo sin que medie una comparación con el proceso de creación artística. Podemos pensar que Ramanujan movía los números como si fueran las cuencas de cristal de un caleidoscopio, y el juego de colores obtenido lo sustanciaba en una fórmula que era anotada cuidadosamente en sus cuadernos. O podemos pensar en un poeta que distribuye adjetivos, verbos y nombres buscando la combinación más adecuada para describir un sentimiento, una vivencia, un instante, que finalmente quedan atrapados en la sonoridad de un par de versos; igualmente Ramanujan distribuía números por aquí y por allá, y dejándose llevar por no se sabe qué tipo de sensibilidad lograba sintetizar con ellos una fórmula que bien podría describir lo que unos números sentían por los otros. Podemos también pensar en un compositor, que teclea notas en un piano buscando la melodía precisa que transforme en sonido la emoción que en ese momento le cruza el ánimo; y podemos imaginarnos a Ramanujan pulsando números hasta componer con ellos una melodía que palpita en el interior de la correspondiente fórmula.

Hay un concepto matemático fundamental donde se dan la mano las dicotomías prudencia/pasión, descubrir/demostrar: el infinito, el concepto que, en cierta forma, separa las matemáticas de la lógica, o de lo que clásicamente se ha entendido por lógica.
Que se sepa, los griegos fueron los primeros en tener devaneos con el infinito; lo que les costó una buena dosis de escándalos, polémicas y disputas. El infinito estaba implicado en las paradojas de Zenón de Elea, y también en la irracionalidad de ; que no pueda ser representado por una fracción fue un resultado que los pitagóricos descubrieron muy pronto y que les causó gran desconcierto; entre otras cosas porque detrás se esconde el infinito. Una fracción queda descrita por dos números enteros: su numerador y su denominador; pueden ser, desde luego, números de muchísimas cifras, de millones de cifras, pero son dos números. En cambio no se puede describir de esa forma: puedo marcar una diferencia pequeñísima, insignificante, y dar una fracción que difiera de menos que esa diferencia, pero esa fracción no será igual a , por lo que se necesitará otra fracción si quiero disminuir más la diferencia fijada. Ahí está el infinito: a una fracción seguirá otra y luego otra y otra más después, y podrán diferir muy poco de , casi nada, pero después de una tendré que dar otra porque no podré encontrar ninguna que sea igual.
El infinito es un adjetivo muy suculento para atribuirlo a la divinidad, más aun si se trata de calificar los atributos de una divinidad absoluta como la judeo-cristiana. Los teólogos pronto se dieron cuenta de la utilidad del infinito en acto para justificar determinados postulados bíblicos. El infinito fue de los conceptos que requirieron ciertos retoques conforme fue absorbido por el pensamiento cristiano. Este proceso de absorción de parte de la filosofía griega se inició con san Agustín, que deglutió todo lo que encontró comestible del pensamiento de Platón —versión Plotino—, y culminó con Tomás de Aquino haciendo lo propio con el pensamiento de Aristóteles.
La regulación aristotélica del infinito fue, en parte, modificada por Tomás de Aquino. Este consideraba a Dios como el primer infinito, plenamente y en toda línea: el infinito en acto. Según los escolásticos, Dios es de una personalidad voraz; nada le es ajeno y necesita alimentarse con el conocimiento absoluto de todo lo que existe.

La utilidad de las matemáticas ha sido a lo largo de la historia como un guadiana. Fue porque son útiles en el comercio, o para ordenar las tierras tras las crecidas del Nilo, la razón por la que babilonios o egipcios las cultivaron. La influencia de Platón en el mundo intelectual griego hizo que esa utilidad se menospreciara. Influencia que fue renovada en el Renacimiento con la recuperación en Europa de los saberes griegos. Pero las matemáticas son útiles, y el interés por esa utilidad acabó resurgiendo con fuerza. Precisamente fue la facilidad para hacer cálculos del sistema de numeración inventado por hindúes y traído a Occidente por los árabes, y la importancia de esos cálculos para la contabilidad ligada al desarrollo comercial que vivía Europa desde mediados del siglo XIII, lo que acabó imponiendo ese sistema de numeración en Europa.
Pero el gran foco de aplicación de las matemáticas fue la física moderna nacida de la revolución científica de los siglos XVI y XVII. Para esa física, las matemáticas son más que útiles: son imprescindibles.
Según el diccionario de la RAE, la física es «la ciencia que estudia las propiedades de la materia y de la energía, y las relaciones entre ambas». La física moderna nace con Galileo y, sobre todo, con Newton.

Hasta el siglo XVII las matemáticas se podían dividir en tres disciplinas: la aritmética, el álgebra y la geometría —o incluso dos, pues aritmética y álgebra fueron casi lo mismo durante muchos siglos—.
La aritmética tiene que ver con los números y sus operaciones. Los devaneos de la humanidad con los números responden a la necesidad de contar, y se pierden en la noche de los tiempos; la aritmética llegó a hacerse muy necesaria hace unos diez mil años, cuando nos convertimos en agricultores y ganaderos, y luego se convirtió en imprescindible, cuando el comercio evolucionó más allá del mero trueque.
El álgebra supuso una extensión de la aritmética que se acabó visualizando en el siglo XVII mediante la introducción de símbolos, que venían a representar números, y su manipulación. Nuestra relación con el álgebra es también muy antigua, aunque su concreción como disciplina matemática fue mucho más lenta, desde sus iniciales balbuceos en Babilonia —resolución de ecuaciones de primer y segundo grado— hasta su concreción en el siglo XVII con el desarrollo de la simbología moderna, pasando por Diofanto o Al-Jwarismi, del título de uno de cuyos libros deriva, precisamente, la palabra «álgebra».
La geometría es también muy antigua, y responde a la necesidad de medir. A nivel muy elemental, fue practicada por egipcios, babilonios, indios y otras culturas; en Grecia alcanzó cotas de inigualable esplendor: desde sus brillantes inicios con Pitágoras o Tales hasta la madurez de Euclides o Apolonio, y la cumbre suprema de Arquímedes.
Aritmética y álgebra habían sido, y lo eran a principio del siglo XVII, disciplinas íntimamente relacionadas; no así la geometría, que parecía habitar un universo casi disjunto con la aritmética y el álgebra.

Tras Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, la matemática griega inició una decadencia paulatina. Posiblemente porque pocos más descubrimientos se podían hacer dentro del corsé de la geometría sintética, y sin nuevos descubrimientos las matemáticas languidecen como los humanos sin oxígeno. Los pinitos algebraicos de Diofanto o la apuesta por los métodos analíticos de Pappus supusieron aire fresco, pero insuficiente para revivir al moribundo. A esta causa interna se unieron un cúmulo de otras circunstancias: disminución del apoyo de reyes y poderosos —especialmente en Alejandría—, reducción del número de estudiosos —lo que pudo producir discontinuidades en el proceso de transmisión del conocimiento entre generaciones—, y la irrupción de conflictos entre la ciencia griega y el cristianismo.
Ese conflicto tuvo dos momentos muy simbólicos. El primero fue el asesinato de Hipatia en marzo de 415.
Aunque la labor de los científicos del islam fue mucho más meritoria que esta mera labor de amalgama y transmisión, y justo es reconocerlo. Por un lado, tomaron de los griegos el gusto por los desarrollos teóricos, más allá de que tuvieran o no aplicaciones prácticas, y de los indios sus tendencias más aplicadas; con esos mimbres crearon una ciencia donde era igualmente importante la teoría y las aplicaciones, en una forma parecida a como fue entendida en Europa a partir del Renacimiento y la revolución científica posterior que dio origen a la ciencia moderna. «Las matemáticas del islam —escribió el historiador Jens Høyrup— poseen ciertos rasgos que no tuvo ninguna cultura anterior, pero que comparten con la temprana ciencia moderna». Y esos rasgos, principalmente la conjunción de teoría y aplicaciones y su enriquecimiento mutuo, fueron hasta tal punto importantes que algunos historiadores, como Høyrup, hablan de un milagro científico islámico —producido entre los siglos IX, X y XI— tan necesario para el surgimiento de la ciencia moderna como el acontecido en Grecia en los siglos V, IV y III a. C.

Es significativo de la diferencia entre sus métodos de cálculo que Leibniz siempre separara el descubrimiento de los desarrollos en series de potencias del descubrimiento del cálculo infinitesimal: el primero lo adjudicaba, sin excesivos problemas y aun durante la etapa más dura de la disputa, a Newton, mientras que del segundo llegó a decir en plena pelea que era invento suyo, e incluso que Newton lo había desarrollado a partir de las cartas que habían intercambiado. Por el contrario, Newton siempre insistió en que tanto los desarrollos en series como el cálculo infinitesimal eran un todo y que Leibniz, habiendo aprendido de él los primeros, era también deudor suyo en el descubrimiento del cálculo diferencial.

El carácter abstracto de las nuevas matemáticas abrió otros frentes. La aparición de curvas que llenaban todo el espacio —la más famosa de las cuales fue construida por Peano en 1890, y retocada por Hilbert en 1891—, por ejemplo, acabó por hacer tambalearse el concepto de dimensión, que fue reconsiderado por Felix Hausdorff en las primeras décadas del siglo XX, y que daría lugar a la geometría de los fractales iniciada por Benoît Mandelbrot (1924-2010) medio siglo después.
El álgebra también cambió profundamente del siglo XVII a finales del XIX; conceptualmente, en sus objetivos, sus técnicas y métodos, casi nada tiene en común el álgebra del inicio con la del final de ese período.
Los problemas fundamentales del álgebra durante los siglos XVII y XVIII tenían que ver con la resolución de ecuaciones polinómicas o sistemas de ellas. A lo que se añadieron los problemas de la teoría de números que, tras el impulso de Fermat, se consideraban a medio camino entre el álgebra y la aritmética.
La resolución de ecuaciones tuvo un desenlace inesperado: se demostró que, a partir de las de grado quinto, inclusive, no podía existir una fórmula general para resolverlas en términos de sumas, productos o raíces —como sí había para las de grado uno, dos, tres y cuatro—. Galois, de hecho, demostró más: ideó un procedimiento constructivo para decidir qué ecuaciones admitían tal fórmula. Lo sorprendente es que tras ese procedimiento se empezaron a descubrir una serie de estructuras algebraicas que aparecían en muchos otros sitios distintos de las matemáticas.
Así, a lo largo del siglo XIX, el álgebra pasó de interesarse por los problemas concretos de las ecuaciones polinómicas o las que aparecían en teoría de números, al estudio y desarrollo de esas estructuras algebraicas que parecían subyacer tras casi cualquier problema matemático concreto. Los algebristas iniciaron el siglo XIX batallando contra los polinomios y lo acabaron en los campos de batalla de la teoría de grupos, cuerpos, anillos o espacios vectoriales.

Entre el siglo XVII y finales del XIX, las matemáticas se enriquecieron no sólo con el mestizaje entre sus diferentes ramas tradicionales, sino también con el añadido de otras nuevas. Aquí trataré muy someramente tres de ellas: probabilidad, topología y lógica matemática.
La probabilidad, el tratamiento matemático del azar, fue desarrollándose progresivamente al hilo del estudio de problemas concretos ligados con juegos de dados y naipes. Luego se empezaron también a considerar otro tipo de problemas de más enjundia e interés social: demografía, salud pública, seguros, loterías, etc. Más que un cuerpo teórico bien estructurado, la probabilidad consistió, hasta su formulación axiomática por Kolmogorov en la tercera década del siglo XX, en una serie de métodos particulares para tratar una diversidad cada vez más amplia de problemas, si bien es cierto que tras esas técnicas iban descubriéndose cada vez más teoremas y conceptos generales.
El cambio del siglo XIX al XX fue algo tumultuoso para las matemáticas. La ciencia en general vivió una época ciertamente revolucionaria que comenzó unas décadas antes con el advenimiento de la teoría de la evolución de Darwin y, ya en el siglo XX, siguió con las teorías de la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica.
El alboroto en matemáticas tenía que ver con sus fundamentos.

Las matemáticas tienen historia, que he procurado contar en este libro de forma breve aunque enriquecida con sus circunstancias emocionales. Pero, como mencioné en el prólogo, las matemáticas tienen sobre todo futuro, simbolizado por el casi inabarcable catálogo de problemas que hoy seguimos tratando de resolver.
Las civilizaciones babilónica y asiria han perecido; Hammurabi, Sargón y Nabucodonosor son nombres vacíos; sin embargo, la matemática elaborada por los babilonios no ha perdido un ápice de su interés, y el sistema sexagesimal de numeración que crearon sigue siendo empleado en astronomía. Pero, sin lugar a dudas, el ejemplo crucial nos lo proporciona la civilización griega. Los griegos fueron los primeros matemáticos que han mantenido su plena vigencia y “realidad” hasta nuestros días. La matemática oriental puede ser una interesante curiosidad, pero la matemática griega es una auténtica realidad. Los griegos fueron los constructores del primer lenguaje matemático susceptible de ser entendido por sus modernos sucesores.
Hardy nos dejó un consejo impagable: «La fama adquirida a través de las matemáticas, si se tiene efectivo para pagar por ella, es una de las inversiones más sólidas y estables».

Very didactic book where we can say that mathematics, or at least what has been understood by mathematics in the Western world since the last two and a half millennia, can be defined as the search and discovery of hidden secrets in object systems that respond to a certain more or less known pattern, secrets that once discovered must be demonstrated using a well-reasoned logical reasoning. The object systems where secrets of mathematical interest are hidden can be of the most varied. They are of geometric type, like triangles or circles, or of numerical type.
If there is a mathematical concept where these emotional aspects occur with special intensity, that is the infinite one. The infinite is like a nest of vipers, and human intelligence has taken millennia to put its hand there; to tame it they have needed a good dose of passion, madness, courage, science and art.

The Pythagorean theorem is one of the few mathematical results that form part of what has been called the “collective imaginary”, that supposed collection of teachings, knowledge and data that all, or almost all, we have in common in our memory. The theorem states that in every right triangle-that is, one of its angles is straight-the side greater than the square equals the sum of the squares of the other two sides. As I wrote earlier, despite being called Pythagoras’ theorem, that relationship between the sides of a right triangle was already known to Babylonian mathematicians more than a thousand years before the birth of Pythagoras. Indeed, we have written evidence that in Mesopotamia, decades before King Hammurabi reigned in Babylon, there were mathematicians who knew that if the legs of a right triangle measure 3 and 4, then their hypotenuse measures 5 …

Ramanujan was a diamond in the rough: he had a monstrously refined intuition for numbers and formulas, although he did not know basic concepts and tools that any aspiring applied to a mathematician must master in the first years of the race. But the miracle occurred, the impossible happened, because Ramanujan, who had mathematically formed himself on the porch of his house in the deep south of India, was able to collaborate fruitfully and on an equal footing with Hardy, one of the most successful fruits of the prestigious English educational system.
The mathematical relationship between Hardy and Ramanujan was extraordinary, not so much the human one, that it was rather cold; “Ramanujan was an Indian,” Hardy wrote decades later, “and I suppose it’s always a bit complicated for an Englishman and an Indian to understand each other properly.” Hardy always considered it a fundamental episode in his life: “My association with Ramanujan,” Hardy confessed once, “has been the only romantic incident of my life.
Ramanujan was a mathematician, despite which it is impossible to describe or understand his work without a comparison with the process of artistic creation. We can think that Ramanujan moved the numbers as if they were the glass basins of a kaleidoscope, and the color game obtained was based on a formula that was carefully written down in his notebooks. Or we can think of a poet who distributes adjectives, verbs and names looking for the most appropriate combination to describe a feeling, an experience, a moment, that finally are trapped in the sonority of a couple of verses; Ramanujan also distributed numbers here and there, and letting himself be carried away by what kind of sensitivity he managed to synthesize with them a formula that could well describe what some numbers felt for each other. We can also think of a composer, who types notes in a piano looking for the precise melody that transforms into sound the emotion that crosses his mind at that moment; and we can imagine Ramanujan pressing numbers until composing with them a melody that pulsates inside the corresponding formula.

There is a fundamental mathematical concept where the dichotomies prudence / passion, discover / demonstrate: the infinite, the concept that, in a certain way, separates mathematics from logic, or from what classically has been understood by logic.
Let it be known, the Greeks were the first to have flirts with infinity; what cost them a good dose of scandals, controversies and disputes. The infinite was involved in the paradoxes of Zeno of Elea, and also in the irrationality of; that it can not be represented by a fraction was a result that the Pythagoreans discovered very soon and that caused great confusion; among other things because behind the infinite hides. A fraction is described by two whole numbers: its numerator and its denominator; they can be, of course, numbers of many figures, millions of figures, but they are two numbers. On the other hand, it can not be described in that way: I can make a very small difference, insignificant, and give a fraction that differs from less than that difference, but that fraction will not be equal to, so another fraction will be needed if I want to decrease more the fixed difference. There is the infinite: a fraction will follow another and then another and another after, and may differ very little, almost nothing, but after one I will have to give another because I can not find any that is the same.
The infinite is a very succulent adjective to attribute it to the divinity, even more if it is to qualify the attributes of an absolute deity as the Judeo-Christian. The theologians soon realized the usefulness of the infinite in act to justify certain biblical postulates. Infinity was one of the concepts that required certain tweaks as it was absorbed by Christian thought. This process of absorption of part of Greek philosophy began with St. Augustine, who swallowed everything he found edible from Plato’s thought-Plotinus-and culminated with Thomas Aquinas doing the same with the thought of Aristotle.
The Aristotelian regulation of infinity was, in part, modified by Thomas Aquinas. This considered God as the first infinite, fully and in every line: the infinite in act. According to the scholastics, God is of a voracious personality; Nothing is foreign to him and he needs to feed himself with absolute knowledge of everything that exists.

The usefulness of mathematics has been throughout history as a Guadiana. It was because they are useful in trade, or to order the lands after the floods of the Nile, the reason why the Babylonians or Egyptians cultivated them. The influence of Plato in the Greek intellectual world caused that utility to be underestimated. Influence that was renewed in the Renaissance with the recovery in Europe of Greek knowledge. But mathematics is useful, and the interest in that utility ended up resurfacing strongly. It was precisely the facility to make calculations of the numbering system invented by Hindus and brought to the West by the Arabs, and the importance of those calculations for the accounting linked to the commercial development that Europe was living on since the mid-thirteenth century, which ended up imposing that system of numbering in Europe.
But the great focus of application of mathematics was modern physics born of the scientific revolution of the sixteenth and seventeenth centuries. For that physics, mathematics is more than useful: they are essential.
According to the dictionary of the RAE, physics is “the science that studies the properties of matter and energy, and the relationships between the two.” Modern physics is born with Galileo and, above all, with Newton.

Until the seventeenth century mathematics could be divided into three disciplines: arithmetic, algebra and geometry – or even two, since arithmetic and algebra were almost the same for many centuries.
Arithmetic has to do with numbers and their operations. Humanity’s dalliances with numbers respond to the need to count, and are lost in the night of time; the arithmetic became very necessary about ten thousand years ago, when we became farmers and ranchers, and then became essential, when the trade evolved beyond mere barter.
The algebra was an extension of the arithmetic that was visualized in the seventeenth century by the introduction of symbols, which came to represent numbers, and their manipulation. Our relationship with algebra is also very old, although its concretion as a mathematical discipline was much slower, from its initial babblings in Babylon -resolution of first and second degree equations- until its concretion in the seventeenth century with the development of symbology modern, through Diofanto or Al-Jwarismi, the title of one of whose books derives, precisely, the word “algebra”.
The geometry is also very old, and responds to the need to measure. At a very elementary level, it was practiced by Egyptians, Babylonians, Indians and other cultures; in Greece it reached heights of unparalleled splendor: from its brilliant beginnings with Pythagoras or Tales to the maturity of Euclid or Apollonius, and the supreme summit of Archimedes.
Arithmetic and algebra had been, and were at the beginning of the seventeenth century, closely related disciplines; not so geometry, which seemed to inhabit a universe almost disjointed with arithmetic and algebra.

After Archimedes, Apollonius and Ptolemy, Greek mathematics began a gradual decadence. Possibly because few more discoveries could be made within the corset of synthetic geometry, and without new discoveries, mathematics languish as humans without oxygen. The algebraic pinitos of Diofanto or the bet by the analytical methods of Pappus supposed fresh air, but insufficient to revive the dying person. To this internal cause they were united a cluster of other circumstances: diminution of the support of kings and powerful -especially in Alexandria-, reduction of the number of students -which could produce discontinuities in the process of knowledge transmission between generations-, and the irruption of conflicts between Greek science and Christianity.
That conflict had two very symbolic moments. The first was the murder of Hypatia in March 415.
Although the work of the scientists of Islam was much more meritorious than this mere work of amalgam and transmission, and it is fair to recognize it. On the one hand, they took from the Greeks the taste for theoretical developments, regardless of whether or not they had practical applications, and of the Indians their most applied tendencies; with these wickers they created a science where theory and applications were equally important, in a way similar to how it was understood in Europe from the Renaissance and the subsequent scientific revolution that gave rise to modern science. “The mathematics of Islam,” wrote the historian Jens Høyrup, “possesses certain traits that had no previous culture, but which they share with early modern science.” And those traits, mainly the conjunction of theory and applications and their mutual enrichment, were so important that some historians, like Høyrup, speak of an Islamic scientific miracle -produced between the ninth, tenth and eleventh centuries- so necessary for the emergence of modern science such as that which occurred in Greece in the fifth, fourth and third centuries a. C.

It is significant of the difference between his methods of calculation that Leibniz always separated the discovery of the developments in power series from the discovery of the infinitesimal calculus: the first adjudged it, without excessive problems and even during the hardest stage of the dispute, to Newton , while the second came to say in full fight that was his invention, and even that Newton had developed from the letters they had exchanged. On the contrary, Newton always insisted that both developments in series and infinitesimal calculus were a whole and that Leibniz, having learned from him the former, was also his debtor in the discovery of differential calculus.

The abstract nature of the new mathematics opened other fronts. The appearance of curves that filled the entire space -the most famous of which was built by Peano in 1890, and touched by Hilbert in 1891-, for example, ended up shaking the concept of dimension, which was reconsidered by Felix Hausdorff in the first decades of the twentieth century, and that would lead to the geometry of fractals initiated by Benoît Mandelbrot (1924-2010) half a century later.
Algebra also changed profoundly from the 17th century to the late 19th century; conceptually, in its objectives, its techniques and methods, almost nothing has in common the algebra of the beginning with that of the end of that period.
The fundamental problems of algebra during the seventeenth and eighteenth centuries had to do with the resolution of polynomial equations or systems of them. To which were added the problems of number theory that, after Fermat’s impulse, were considered halfway between algebra and arithmetic.
The resolution of equations had an unexpected outcome: it was shown that, from the fifth grade, inclusive, there could not be a general formula to solve them in terms of sums, products or roots -as there were for those in grade one, two , three and four-. Galois, in fact, proved more: he devised a constructive procedure to decide which equations admitted such a formula. The surprising thing is that after that procedure they began to discover a series of algebraic structures that appeared in many other places different from mathematics.
Thus, throughout the nineteenth century, algebra went from being interested in the concrete problems of polynomial equations or those that appeared in number theory, to the study and development of those algebraic structures that seemed to underlie almost any concrete mathematical problem. The algebraists began the nineteenth century battling against polynomials and ended up in the battlefields of the theory of groups, bodies, rings or vector spaces.

Between the seventeenth and the late nineteenth centuries, mathematics was enriched not only with the miscegenation between its different traditional branches, but also with the addition of new ones. Here I will discuss very briefly three of them: probability, topology and mathematical logic.
The probability, the mathematical treatment of chance, was developed progressively along the lines of the study of concrete problems linked with games of dice and cards. Then they also began to consider another type of problems of more substance and social interest: demography, public health, insurance, lotteries, etc. More than a well-structured theoretical body, the probability was, until its axiomatic formulation by Kolmogorov in the third decade of the twentieth century, in a series of particular methods to deal with an increasingly wide diversity of problems, although it is true that techniques were increasingly discovering theorems and general concepts.
The change from the nineteenth to the twentieth century was somewhat tumultuous for mathematics. Science in general lived a truly revolutionary era that began a few decades earlier with the advent of Darwin’s theory of evolution and, already in the twentieth century, continued with the theories of Einstein’s relativity and quantum mechanics.
The uproar in mathematics had to do with its foundations.

Mathematics has a history, which I have tried to tell briefly in this book, although enriched with its emotional circumstances. But, as I mentioned in the prologue, mathematics has, above all, a future, symbolized by the almost limitless catalog of problems that we are still trying to solve today.
The Babylonian and Assyrian civilizations have perished; Hammurabi, Sargon and Nebuchadnezzar are empty names; However, the mathematics elaborated by the Babylonians has not lost a bit of interest, and the sexagesimal numbering system they created is still used in astronomy. But, without a doubt, the crucial example is provided by the Greek civilization. The Greeks were the first mathematicians who have maintained their full validity and “reality” to this day. Oriental mathematics can be an interesting curiosity, but Greek mathematics is an authentic reality. The Greeks were the builders of the first mathematical language that could be understood by their modern successors.
Hardy left us invaluable advice: “The fame acquired through mathematics, if you have cash to pay for it, is one of the most solid and stable investments.”

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